Question

【题目】已知抛物线C： ，过点的动直线l与C相交于两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q.

（Ⅰ）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：点Q在直线上；

Answer 1

【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为（2）见解析

【解析】试题分析：

直接根据抛物线的定义即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程

由题意，知直线的斜率存在，故设的方程为,构造方程组，根据根与系数关系和导数的几何意义得到抛物线在点处的切线方程，得到，代入即可证明。

解析：（Ⅰ）焦点坐标为，准线方程为.

（Ⅱ）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为.

由方程组 得，

由题意，得.

设， ，则， ，

所以抛物线在点处的切线方程为，

化简，得 ， ①

同理，抛物线在点处的切线方程为. ②

联立方程，得，

即， 因为，所以，

代入①，得，所以点，即.

所以点Q在直线上.