Question

【题目】（1）请根据对数函数来指出函数的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；

（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍増”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明： ；

（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是,乙认为是.现有两种定义：

①若实数满足，则称比接近；

②若实数，且，满足，则称比接近；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据对数函数的性质即可描述函数的基本性质；

（2）设，得，根据实数指数幂的运算，即可作出证明；

（3）分别采用定义，利用指数幂和对数的运算，即可作出结论.

试题解析：

(1) ，

基本性质为：定义域： ；值域： ；单调减区间和

(判断奇偶性、周期性不予给分)

（2）证明： 设

即证明完毕

（3）采用定义（Ⅰ）:

而

所以甲同学的近似值更接近

采用定义（Ⅱ）：

甲的估值 ，乙的估值

因为，

所以乙同学的近似值更接近