Question

4．等比数列{a_n}的各项均为正数，2a₅，a₄，4a₆成等差数列，且满足a₄=4a₃²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（1-{a}_{n}）（1-{a}_{n+1}）}$，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，由2a₅，a₄，4a₆成等差数列，可得2a₄=2a₅+4a₆，化为：2q²+q-1=0，q＞0，解得q．又满足a₄=4a₃²，化为：1=4a₁q，解得a₁．可得a_n．
（II）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（1-{a}_{n}）（1-{a}_{n+1}）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，n∈N^*，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵2a₅，a₄，4a₆成等差数列，∴2a₄=2a₅+4a₆，∴2a₄=2a₄（q+2q²），
化为：2q²+q-1=0，q＞0，解得q=$\frac{1}{2}$．
又满足a₄=4a₃²，∴${a}_{1}{q}^{3}$=4$（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}$，化为：1=4a₁q，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$（n∈N^*），．
（II）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（1-{a}_{n}）（1-{a}_{n+1}）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，n∈N^*，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$，n∈N^*．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．