Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为常数，且m＞0）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{b_n²}的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（1）当n≥2时根据a_n=S_n-S_n-1化简整理得，根据等比数列的定义即可判断数列{a_n}为等比数列．
（2）由（1）可求得q和a₁，进而求得b₁，根据b_n=f（b_n-1）整理得即进而判断数列为等差数列，根据首项和公差，进而可得数列的通项公式．
（3）根据（2）先可得出数列{b_n²}的通项公式再根据，通过裂项法求和即可证明原式．
解答：（1）证明：当n=1时，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m为常数，且m＞0，∴（n≥2）
∴数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）得，q=f（m）=，b₁=2a₁=2．
∵，
∴，即（n≥2）．
∴是首项为，公差为1的等差数列．
∴，即（n∈N^*）．
（3）证明：由（2）知，则．
所以T_n=b₁²+b₂²+b₃²++b_n²=，
当n≥2时，，
所以=．
点评：本题主要考查了等比关系和等差关系的确定，及数列求和问题．裂项法是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．