Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=（-1）ⁿa_n-

1

2n

，n∈N⁺，则a₂+a₄+a₆+…+a₁₀₀=

1

3

(1-

1

2100

)

．

Answer 1

分析：由S_n=（-1）ⁿa_n-

1

2n

，得Sn-1=(-1)n-1an-1-

1

2n-1

（n≥2），两式相减可得递推式，分n为偶数、奇数可得奇数项、偶数项的通项公式，从而可得答案．

解答：解：由S_n=（-1）ⁿa_n-

1

2n

，得Sn-1=(-1)n-1an-1-

1

2n-1

（n≥2），
两式相减得，an=(-1)nan-(-1)n-1an-1+

1

2n

，即[1+（-1）ⁿ⁺¹]a_n=(-1)nan-1+

1

2n

(n≥2)，
当n=2k（k∈N₊）时，得a2k-1=-

1

22k

，即n为正奇数时，有an=-

1

2n+1

，；
当n=2k+1（k∈N₊）时，得2a2k+1=-a2k+

1

22k+1

，由上式得，2（-

1

2k+2

）=-a_2k+

1

22k+1

，
所以a2k=

1

22k

，即n为正偶数时，an=

1

2n

，
所以a₂，a₄，a₆，…a₁₀₀构成以

1

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列，
所以

1 4 (1- 1 450 )

1- 1 4

=

1

3

(1-

1

2100

)，
故答案为：

1

3

(1-

1

2100

)．

点评：本题考查数列递推式、数列求和，考查学生的推理论证能力，解决本题的关键是要根据问题进行分类讨论求得通项．