Question

15．电视台有一个闯关游戏节目．参加游戏的每支队伍由父、母与小孩三人组成，规则如下：每队三次机会，每次只派一人上场，在规定时间内答对10题则过关，否则淘汰，再派另一个人上场，若三人有一人通过则全队通过．某家庭各自过关的概率分别为P₁（父亲）、P₂（母亲）、P₃（小孩），P₁、P₂、P₃互不相等且各自能否过关互不影响．
（1）该家庭闯关能否成功是否与上场顺序有关？并说明理由；
（2）若按父、母、小孩的顺序上场，求出场人数x的分布列及均值；
（3）若P₃＜P₂＜P₁＜1，分析以怎样的顺序上场可使所需出场人数的期望最小．

Answer 1

分析 （1）由P=1-（1-P₁）（1-P₂）（1-P₃），得到该家庭闯关能否成功与上场顺序无关．
（2）设X为出场人数，则X=1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（3）对P₁、P₂、P₃作任意排列q₁、q₂、q₃．由（3-2q₁-q₂+q₁q₂）-（3-2P₁-P₂+P₁P₂）≥0，得到以父母小孩的顺序上场均值最小．

解答 解：（1）∵P=1-（1-P₁）（1-P₂）（1-P₃），
∴该家庭闯关能否成功与上场顺序无关．
（2）设X为出场人数，则X=1、2、3，
P（X=1）=p₁，
P（X=2）=（1-p₁）p₂，
P（X=3）=（1-p₁）（1-p₂），
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	p1	（1-p1）p2	（1-p1）（1-p2）

EX=p₁+2（1-p₁）p₂+3（1-p₁）（1-p₂）=3-2p₁-p₂+p₁p₂．
（3）对P₁、P₂、P₃作任意排列q₁、q₂、q₃．
（3-2q₁-q₂+q₁q₂）-（3-2P₁-P₂+P₁P₂）
=2（P₁-q₁）（P₂-q₂）-（P₁-q₁）P₂-q₁（P₂-q₂）
=（2-P₂）（P₁-q₂）+（1-q₁）（P₂-q₂）
≥（1-q₁）[（P₁+P₂）-（q₁+q₂）]≥0，
∴以父母小孩的顺序上场均值最小．

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．