Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，已知a₁=1，a_n=-S_n•S_n-1（n≥2），则S_n=（　　）

• A．n²
• B．

  1

  n2

• C．n
• D．

  1

  n

Answer 1

分析：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，与已知结合，可知{

1

Sn

}为等差数列，从而可求得答案．

解答：解：∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，又a_n=-S_n•S_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-S_n•S_n-1（n≥2），
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=1（n≥2），又

1

S1

=1，
∴{

1

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

Sn

=1+（n-1）×1=n．
∴S_n=

1

n

．
故选D．

点评：本题考查数列的求和，分析得到{

1

Sn

}为等差数列是关键，也是难点，考查转化与分析运算能力，属于中档题．