题目内容

已知向量
m
=(sinx，-1)，向量
n
=(
3
cosx，
1
2
)，函数f(x)=(
m
+
n
)•
m
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=0在x∈[
π
4
，
π
2
]上有解，求实数t的取值范围．
（I）∵
m
=(sinx，-1)，
n
=(
3
cosx，
1
2
)，
∴
m
+
n
=（sinx+
3
cosx，-
1
2
），可得
f(x)=(
m
+
n
)•
m
=sinx（sinx+
3
cosx）+
1
2
=sin2x+
3
sinxcosx+
1
2

∵sin2x=
1
2
（1-cos2x），sinxcosx=
1
2
sin2x
∴f（x）=
1
2
（1-cos2x）+
3
2
sin2x+
1
2
=sin（2x-
π
6
）+1
因此，f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π；
（II）∵x∈[
π
4
，
π
2
]，可得2x-
π
6
∈[
π
3
，
5π
6
]
∴sin（2x-
π
6
）∈[
1
2
，1]，得f（x）=sin（2x-
π
6
）+1的值域为[
3
2
，2]
∵方程f（x）-t=0在x∈[
π
4
，
π
2
]上有解，
∴f（x）=t在x∈[
π
4
，
π
2
]上有解，可得实数t的取值范围为[
3
2
，2]．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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