Question

如图，在四棱锥P ­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是PD的中点，F为ED的中点．

(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；

(2)求证：CF∥平面BAE.

Answer 1

证明　(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，(2分)

又AC⊥CD，且AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC，(4分)

又CD⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.(7分)

(2)取AE中点G，连接FG，BG.

因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝AD.(9分)

在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，

所以AC＝AD，所以BC＝AD.(11分)

在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，

从而∠ACB＝∠DAC，所以AD∥BC.

综上，FG∥BC，FG＝BC，四边形FGBC为平行四边形，所以CF∥BG.(13分)

又BG⊂平面BAE，CF⊄平面BAE，所以CF∥平面BAE.(14分)