Question

17．若函数f（x）=（x-a）（x-b）．
（1）求函数f（x）的导函数．
（2）若a=1，b=-4，求垂直于直线2x-6y+1=0并且与曲线y=xf（x）+4x-5相切的直线方程．

Answer 1

分析 （1）根据函数的导数公式进行求解即可．
（2）求出函数f（x）的解析以及曲线的表达式，求出函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）的导函数f′（x）=（x-a）′（x-b）+（x-a）（x-b）′=x-b+x-a=2x-a-b．
（2）若a=1，b=-4，则f（x）=（x-1）（x+4）=x²+3x-4．
则曲线y=xf（x）+4x-5=x（x²+3x-4）+4x-5=x³+3x²-5，
∵直线垂直于直线2x-6y+1=0，
∴直线2x-6y+1=0的斜率k₁=$\frac{1}{3}$，则所求直线的斜率k=-3，
即f′（x）=-3，
∵y′=3x²+6x，
∴由3x²+6x=-3得x²+2x+1=（x+1）²=0，
即x=-1，
此时y=（-1）³+3×（-1）²-5=-1+3-5=-3，
即切点坐标为（-1，-3），
则对应的切线方程为y+3=-3（x+1），即y=-3x-6．

点评 本题主要考查导数的计算，以及切线的求解，根据导数的几何意义是解决本题的关键．考查学生的计算能力．