Question

选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（Ⅰ）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（Ⅱ）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，可得 a²+b²+c² 的最小值为．
（Ⅱ）由a，b，c均为正实数，可得，同理，
，相加可得不等式成立．
解答：解：（Ⅰ）因为a，b，c 均为正实数，由柯西不等式得，
（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，当且仅当 时等号成立，
∴a²+b²+c² 的最小值为． …5分
证明：（Ⅱ）∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当a=b时等号成立；
则，当且仅当b=c时等号成立；
，当且仅当c=a时等号成立；
三个不等式相加得，，
当且仅当a=b=c时等号成立．…10分
点评：本题考查用综合法证明不等式，利用了关于正数的基本不等式≥，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键和难点．