题目内容

夏都广场地面喷泉的喷头用铸铁防护罩保护，防护罩的图案如图所示，外圈是正方形．正方形的对角线长为2a，在正方形内作一个内切圆；在第一个内切圆内又作一个内接正方形，在正方形内再作第二个内切圆；然后又在第二个内切圆中作内接正方形，在正方形内再作第三个内切圆，…，依此作到第n个内切圆，它的半径是________．

$\text{[math]}$
分析：先根据正方形的对角线长为2a，求出正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，即为第二正方形的对角线的长，从而求出第一个内切圆的半径，同理求出第二个内切圆的半径，然后归纳推理得到第n个内切圆的半径．
解答：∵正方形的对角线长为2a，
∴正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，即为第二正方形的对角线的长
∵在正方形内作一个内切圆，则边长即为内切圆的直径
∴第一个内切圆的半径为 $\text{[math]}$
第一个内切圆的半径为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
依此类推得作到第n个内切圆，它的半径是 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了数列的应用，以及正方形的内切圆的半径的求解和归纳推理，属于中档题．

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