Question

夏都广场地面喷泉的喷头用铸铁防护罩保护，防护罩的图案如图所示，外圈是正方形．正方形的对角线长为2a，在正方形内作一个内切圆；在第一个内切圆内又作一个内接正方形，在正方形内再作第二个内切圆；然后又在第二个内切圆中作内接正方形，在正方形内再作第三个内切圆，…，依此作到第n个内切圆，它的半径是

(

2

2

)na

．

Answer 1

分析：先根据正方形的对角线长为2a，求出正方形的边长为

2

a，即为第二正方形的对角线的长，从而求出第一个内切圆的半径，同理求出第二个内切圆的半径，然后归纳推理得到第n个内切圆的半径．

解答：解：∵正方形的对角线长为2a，
∴正方形的边长为

2

a，即为第二正方形的对角线的长
∵在正方形内作一个内切圆，则边长即为内切圆的直径
∴第一个内切圆的半径为

2

2

a
第一个内切圆的半径为

2

2

×

2

2

a=(

2

2

)2a
依此类推得作到第n个内切圆，它的半径是(

2

2

)na
故答案为：(

2

2

)na

点评：本题主要考查了数列的应用，以及正方形的内切圆的半径的求解和归纳推理，属于中档题．