题目内容

函数f（x）=a^2x-a^x+b 　x∈[-1，2]，若f （0）=1，f （1）= $数学公式$ ，求
（1）f （x）的解析式　
（2）f （x）的值域　
（3）f （x）的单调区间．

解：（1）f（x）=a^2x-a^x+b，x∈[-1，2]
因为f（0）=1，f（1）= $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$ （2分）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （4分）
（2）设t= $\text{[math]}$ ，t∈[ $\text{[math]}$ ，2]．
∴y=t²-t+1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
∴当t= $\text{[math]}$ 时，y_min= $\text{[math]}$ ；
当t=2时，y_max=3．
∴函数的值域为：[ $\text{[math]}$ ，3]．
（3）令 $\text{[math]}$ ．
由于 $\text{[math]}$ 为单调递减函数 $\text{[math]}$ 单调递增（12分）
∴ $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）直接根据f （0）=1以及f （1）= $\text{[math]}$ ，列出关于a，b的两个方程，解方程求出a，b即可求f （x）的解析式；
（2）令t= $\text{[math]}$ ，求出t的取值范围，把问题转化为二次函数在闭区间上求值域的问题，比较对称轴和区间的位置关系即可得出结论；
（3）令t= $\text{[math]}$ ，求出t的取值范围，根据二次函数单调性的求法，再结合复合函数的单调性中的同增异减的性质即可得出结论．
点评：本题是对指数函数知识以及二次函数知识的综合考查．其中涉及到了复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循原则是：两个函数单调性相同，复合函数为增函数；两个函数单调性相反，复合函数为减函数；简单的记法就是“同则增，异则减“．