Question

函数f（x）=a^2x-a^x+b 　x∈[-1，2]，若f （0）=1，f （1）=

3

4

，求
（1）f （x）的解析式  
（2）f （x）的值域　
（3）f （x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）直接根据f （0）=1以及f （1）=

3

4

，列出关于a，b的两个方程，解方程求出a，b即可求f （x）的解析式；
（2）令t=(

1

2

)x，求出t的取值范围，把问题转化为二次函数在闭区间上求值域的问题，比较对称轴和区间的位置关系即可得出结论；
（3）令t=(

1

2

)x，求出t的取值范围，根据二次函数单调性的求法，再结合复合函数的单调性中的同增异减的性质即可得出结论．

解答：解：（1）f（x）=a^2x-a^x+b，x∈[-1，2]
因为f（0）=1，f（1）=

3

4

则

b=1 a2-a+b= 3 4

（2分）
∴

a= 1 2 b=1

∴f(x)=(

1

2

)2x-(

1

2

)x+1，x∈[-1，2]（4分）
（2）设t=(

1

2

)x，t∈[

1

4

，2]．
∴y=t²-t+1=(t-

1

2

)2+

3

4

．
∴当t=

1

2

时，y_min=

3

4

；
当t=2时，y_max=3．
∴函数的值域为：[

3

4

，3]．
（3）令

( 1 2 )x=t∈[ 1 4 ，2] ∴y=t2-t+1，t∈[ 1 4 ，2]

．
由于t=(

1

2

)x为单调递减函数y=t2-t+1在t∈[

1

4

，

1

2

]单调递减，在t∈(

1

2

，2]单调递增（12分）
∴y=(

1

2

)2x-(

1

2

)x+1在[1，2]单调递增，在[-1，1)单调递减（14分）

点评：本题是对指数函数知识以及二次函数知识的综合考查．其中涉及到了复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循原则是：两个函数单调性相同，复合函数为增函数；两个函数单调性相反，复合函数为减函数；简单的记法就是“同则增，异则减“．