题目内容

如图，在半径为R、圆心角为 $数学公式$ 的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF，并且EP与∠AOB的平分线OC平行，设∠POC=θ．
（1）试写出用θ表示长方形EPQF的面积S（θ）的函数；
（2）在余下的边角料中在剪出两个圆（如图所示），试问当矩形EPQF的面积最大时，能否由这个矩形和两个圆组成一个有上下底面的圆柱？如果可能，求出此时圆柱的体积．

解：（1）由条件得 $\text{[math]}$ ，
从而 $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，
所以当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 取得最大值，为 $\text{[math]}$ ．
此时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以EPQF为正方形，依题意知制成的圆柱底面应是由EF围成的圆，
从而由周长 $\text{[math]}$ ，得其半径为 $\text{[math]}$ ．
另一方面，如图所示，设圆与OA边切于点H，连接GE、GH、GA， $\text{[math]}$ ．
设两小圆的半径为GH=r，则 $\text{[math]}$ ，
且AH＞r，从而 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
因0.084R＜0.10R，
所以能作出满足条件的两个圆．此时圆柱的体积 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）在Rt△OPC中，OP=R，∠POC=θ，可求PC，OC，从而可得EF，EP，即可求长方形EPQF的面积，；
（2）制成圆柱的底面周长为EF，半径可求，△OEF的内切圆半径可求，两半径比较得出结论．
点评：本题用柱体的侧面积和体积作为载体，重点考查了三角函数的运算与性质，求侧面积 S（θ）的最大值和柱体的体积时，考查了两角和与差的运算，且运算量较大，属于中档题．