Question

【题目】设f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ．
（1）求a的取值范围；
（2）证明： 随着a的减小而增大；
（3）证明x1+x2随着a的减小而增大．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣aex，∴f′（x）=1﹣aex；

下面分两种情况讨论：

①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；

②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣lna）	﹣lna	（﹣lna，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	递增	极大值﹣lna﹣1	递减

∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；

∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：

①f（﹣lna）＞0；

②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；

③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；

由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；

取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，

取s2= +ln ，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（ ﹣ ）+（ln ﹣ ）＜0；

∴a的取值范围是（0，e﹣1）．

（2）证明：由f（x）=x﹣aex=0，得a= ，

设g（x）= ，由g′（x）= ，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，

x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；

对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；

g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；

∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（Xi）＞g（Yi），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；

又由X、Y＞0，得 ＜ ＜ ；∴ 随着a的减小而增大；

（3）证明：∵x1=a ，x2=a ，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；

∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln ，设 =t，则t＞1，

∴ ，解得x1= ，x2= ，

∴x1+x2= …①；

令h（x）= ，x∈（1，+∞），则h′（x）= ；

令u（x）=﹣2lnx+x﹣ ，得u′（x）= ，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，

∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，

∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；

∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．

由（2）知，t随着a的减小而增大，

∴x1+x2随着a的减小而增大．

【解析】（1）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（2）由f（x）=0，得a= ，设g（x）= ，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a ，x2=a ，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln ，令 =t，整理得到x1+x2= ，令h（x）= ，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（2）知，t随着a的减小而增大，即得证．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．