Question

20．在2014年亚洲移动通信博览会上，中国移动表示投资将超过2400亿元，根据规划，某地移动公司需要在如图所示的三角形地带OAC区域内建造甲、乙两个基站，甲站建立在区域BOC内，乙站建立区域AOB内，分界线OB固定，且OB=（1+$\sqrt{3}$）km，边界线AC始终过点B，∠AOC=75°，∠AOB=30°，设OA=x（3≤x≤6）km，OC=ykm
（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式
（2）当x取何值时，两个基站的占地面积S_△OAC最小？并求出最小面积．

Answer 1

分析 （1）由图形知，S_△BOC+S_△AOB=S_△AOC，代入面积公式，求出函数y的解析式；
（2）由（1）知，函数y的解析式，求出S_△AOC的表达式，利用基本不等式求出S_△OAC最小时，x的取值以及最小面积是什么．

解答 解：（1）结合图形可知，S_△BOC+S_△AOB=S_△AOC．
于是，$\frac{1}{2}$x（1+$\sqrt{3}$）sin30°+$\frac{1}{2}$y（1+$\sqrt{3}$）sin45°=$\frac{1}{2}$xysin75°，
解得：y=$\frac{\sqrt{2}x}{x-2}$，（其中3≤x≤6）．
（2）由（1）知，y=$\frac{\sqrt{2}x}{x-2}$（3≤x≤6），
因此，S_△AOC=$\frac{1}{2}$xysin75°
=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$•$\frac{{x}^{2}}{x-2}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$[（x-2）+$\frac{4}{x-2}$+4]
≥2+2$\sqrt{3}$（当且仅当x-2=$\frac{4}{x-2}$，即x=4时，等号成立）．
∴当x=400米时，整个中转站的占地面积S_△OAC最小，最小面积是（2+2$\sqrt{3}$）×10⁴平方米．

点评 本题考查了求函数的解析式以及利用基本不等式求函数的最值问题，解题时应根据题意，列出等量关系，求出函数的解析式，是综合题．