Question

(本小题满分12分) 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线：相切.
（1）求圆的方程；
（2）若圆上有两点关于直线对称，且,求直线MN的方程；
（3）圆与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围.

Answer 1

（1）．（2）或.（3）.              

(1)关键是利用点到直线的距离求出半径.
（2）可设直线MN的方程为.则圆心到直线MN的距离.由垂径分弦定理得：，从而解出m的值.
(3) 不妨设．由得．
设，由成等比数列，得，即．=,再根据点P在圆内，确定出y的取值范围，进而确定的取值范围.
解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．
得圆的方程为．                     ………………3分
（2）由题意，可设直线MN的方程为.
则圆心到直线MN的距离.                ………………4分
由垂径分弦定理得：，即.
所以直线MN的方程为：或.…………6分
（3）不妨设．由得．
设，由成等比数列，得
，即． …………8分
∴=
由于点在圆内，故由此得．    …………10分
所以的取值范围为.               ………………12分