Question

【题目】椭圆经过点，左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且满足的点只有两个.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在一点，使得的角平分线是轴？若存在求出，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题得点为椭圆的上下顶点，得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，根据得到. 所以存在点，使得的平分线是轴.

解：（I）由题设知点为椭圆的上下顶点，所以，b=c,,

故，,

故椭圆方程为 .

（Ⅱ）设直线的方程为，联立

消得

设，坐标为，则有

，，又，

假设在轴上存在这样的点，使得轴是的平分线，则有

而

将，，代入

有

即

因为，故. 所以存在点，使得的平分线是轴.