Question

【题目】已知函数，．

（）求函数的单调区间及最值．

（）若对，恒成立，求的取值范围．

（）求证：，．

Answer 1

【答案】(1) 单调增区间是，单调减区间是， ，无最小值．(2) (3)见解析

【解析】分析：（1）先求函数定义域，利用导数求函数f(x)的单调区间及最值。（2）由，恒成立，等价变形为对，恒成立，令，利用导数求h(x)的最大值，即可求。（3）由（）知，当，时，，即，令，得，即，依次令，，，，，不等式同向相加可证。

详解：（）的定义域为，，

令得，令，得，

∴的单调增区间是，单调减区间是，

，无最小值．

（）若对，恒成立，

则对，恒成立，

即对，恒成立，

令，则，

当时，显然，

∴在上是减函数，

∴当时，，

∴，即的取值范围是．

（）证明：由（）知，当，时，，即，

在上式中，令，得，即，

依次令，，，，，

得，，， ，

将这个式子左右两边分别相加得，

即，．