Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ +alnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ．
因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，
所以 ≥0在[2，3]上恒成立，
即 在[2，3]上恒成立，
设 ，则 ，
所以g（x）在[2，3]上单调递减，
故g（x）max=g（2）=﹣7，
所以a≥﹣7；
（Ⅱ）对于任意两个不相等的正数x1、x2有
＞
=

= ，
∴ ，
而 ，
∴ =
= ＞ ，
故： ＞ ，即 ＞1，
∴当a≤4时，
【解析】（Ⅰ）由函数单调性，知其导函数≥0在[2，3]上恒成立，将问题转化为 在[2，3]上单调递减即可求得结果；（Ⅱ）根据题意，将 写成 ，利用不等式的性质证明 ，所以 ＞ ，即得 ．