题目内容
【题目】下列结论中,正确的有( )
①不存在实数k,使得方程xlnx﹣ x2+k=0有两个不等实根;
②已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a2+b2=2c2 , 则角C的最大值为 ;
③函数y= ln 与y=lntan 是同一函数;
④在椭圆 + =1(a>b>0),左右顶点分别为A,B,若P为椭圆上任意一点(不同于A,B),则直线PA与直线PB斜率之积为定值.
A.①④
B.①③
C.①②
D.②④
【答案】A
【解析】解:对于①,函数f(x)=xlnx﹣ x2在定义域内单调,不存在实数k,使得方程xlnx﹣ x2+k=0有两个不等实根,正确;
对于②,∵a2+b2=2c2 , ∴a2+b2=2c2≥2ab,cosC= ,则角C的最大值为 ,故错;
对于③,函数y= ln 与y=lntan 的定义域不同,不是同一函数,故错;
对于④,设A(﹣a,0),B(a,0),P(m,n),则b2m2+a2n2=a2b2a2n2=b2(a2﹣m2)直线PA与直线PB斜率之积为 (定值),故正确.
故选:A.
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识,掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
【题目】微信是现代生活进行信息交流的重要工具,随机对使用微信的60人进行了统计,得到如下数据统计表,每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”,不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”,己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3:2.
(1)确定x,y,p,q的值,并补全须率分布直方图;
(2)为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响,从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查,设选取的3人中“微信达人”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
使用微信时间(单位:小时) | 频数 | 频率 |
(0,0.5] | 3 | 0.05 |
(0.5,1] | x | p |
(1,1.5] | 9 | 0.15 |
(1.5,2] | 15 | 0.25 |
(2,2.5] | 18 | 0.30 |
(2.5,3] | y | q |
合计 | 60 | 1.00 |
【题目】某品牌的汽车4S店,对最近100例分期付款购车情况进行统计,统计结果如表所示,已知分9期付款的频率为0.4;该店经销一辆该品牌的汽车.若顾客分3期付款,其利润为1万元;分6期或9期付款,其利润为2万元;分12期付款,其利润为3万元.
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
频数 | 20 | 20 | a | b |
(1)若以表中计算出的频率近似替代概率,从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3位顾客,求事件A:“至多有1位采用分6期付款”的概率P(A);
(2)按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人,再从抽出的5人中随机抽取3人,记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η,求η的分布列及数学期望E(η).