Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0
（1）证明：

1

a

是f（x）的一个根；（2）试比较

1

a

与c的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意得c、

1

a

是方程f（x）=0的两个根，
（2）欲比较

1

a

与c的大小，利用反证法去证明

1

a

＜c不可能，从而得到

1

a

＞c；

解答：证明：（1）∵f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，f（x）=0的两个根x₁，x₂满足x1x2=

c

a

，
又f（c）=0，不妨设x₁=c∴x2=

1

a

，即

1

a

是f(x)=0的一个根．
（2）假设

1

a

＜c，又

1

a

＞0
由0＜x＜c时，f（x）＞0，得f(

1

a

)＞0，与f(

1

a

)=0矛盾∴

1

a

≥c
又：f（x）=0的两个根不相等∴

1

a

≠c，只有

1

a

＞c

点评：本题主要考查不等式的证明，有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法--反证法去证明，即通过否定原结论---导出矛盾---从而达到肯定原结论的目的．