Question

已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，14，18，20，且总体的中位数为10.5，
（1）求该总体的平均数；
（2）若要使该总体的方差最小，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由中位数和平均数的定义可解决
（2）由a、b的关系，把问题转化成二次函数求最值问题，即可求解

解答：解：（1）由题意知

a+b

2

=10.5，
∴a+b=21
∴平均数为

2+3+3+7+a+b+12+14+18+20

10

=

2+3+3+7+21+12+14+18+20

10

=10
∴总体的平均数为10
（2）S2 =

(2-10)2+ 2×(3-10)2+(7-10)2+(a-10)2+(b-10)2+(12-10)2+(14-10)2+(18-10)2+(20-10)2

10

∴要使S²最小，须使（a-10）²+（b-10）²最小
又a+b=21
∴（a-10）²+（b-10）²=（a-10）²+（21-a-10）²
=2a²-42a+221
=2(a-

21

2

)2+

1

2

∴当a=

21

2

时，方差最小

点评：本题考查数据的平均数、中数、方差，其次要掌握平均数、中数、方差的计算公式，还考查二次函数求最值问题