Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）若，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设C：（a＞b＞0），由条件知a-c=，=，由此能导出C的方程．
（2）由，，知λ=3或O点与P点重合．当O点与P点重合时，m=0．当λ=3时，直线l与y轴相交，设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
解答：解：（1）设C：（a＞b＞0），设c＞0，c²=a²-b²，由条件知a-c=，=，
∴a=1，b=c=，故C的方程为：y²+=1．
（2）由，
∴λ+1=4，λ=3或O点与P点重合，
当O点与P点重合时，m=0
当λ=3时，直线l与y轴相交，则斜率存在．
设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0 （*）
x₁+x₂=，x₁x₂=                          
∵=3，
∴-x₁=3x₂
∴，
消去x₂，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3（）²+4=0
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0                          
m²=时，上式不成立；
m²≠时，k²=，
因λ=3，∴k≠0，∴k²=＞0，
∴-1＜m＜- 或 ＜m＜1
容易验证k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（-1，-）∪（，1）∪{0}
点评：本题考查椭圆方程的求法和求m的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．