Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为

2

、离心率为

2

2

，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且

AP

=3

PB

．
（I）求椭圆方程；
（II）求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设椭圆的标准方程，根据短轴长为

2

、离心率为

2

2

可求出a，b，c的值，从而得到答案．
（2）先设l与椭圆C交点为A、B的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，进而得到两根之和、两根之积，再表示出

AP

=3

PB

再将两根之和、两根之积代入可得(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0，整理可得k2=

2-2m2

4m2-1

＞0解出m的范围．

解答：解：（I）设C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），设c＞0，c²=a²-b²，
由条件知2b=

2

，

c

a

=

2

2

，
∴a=1，b=c=

2

2

故C的方程为：y2+

x2

1 2

=1
（II）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+m 2x2+y2=1

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*）
x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

∵

AP

=3

PB

∴-x₁=3x₂
∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3 x 2 2

得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0
m²=

1

4

时，上式不成立；m²≠

1

4

时，k2=

2-2m2

4m2-1

，
由（*）式得k²＞2m²-2
因k≠0∴k2=

2-2m2

4m2-1

＞0，
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1
即所求m的取值范围为（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、基本性质和直线与椭圆的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点题目，要强化学习．