Question

12．已知函数f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）若f（2x²-mx）＞f（x-1）在（1，3）恒成立，求m的取值范围；
（3）当a=4b时，g（x）=f（x）-lg（a^x+b^x）-n在（1，2）上有零点，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数函数和指数函数的定义域及单调性即可得出；
（2）先判断函数f（x）的单调性，根据单调性得到2x²-mx＞x-1在（1，3）恒成立，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决，
（3）化简g（x），根据零点存在定理即可求出n的取值范围．

解答 解：（1）要使函数有意义，必有a^x-b^x＞0，a＞1＞b＞0
可得（$\frac{a}{b}$）^x＞1，解得x＞0，
函数的定义域为：（0，+∞）；
（2）设φ（x）=a^x-b^x，再设x₁，x₂∈（0，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
则φ（x₁）-φ（x₂）=${a}^{{x}_{1}}-{b}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}+{b}^{{x}_{2}}$=（${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$）+（${b}^{{x}_{2}}-{b}^{{x}_{1}}$），
对于函数y=a^x为增函数，y=b^x为减函数，
∴${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$＜0，${b}^{{x}_{2}}-{b}^{{x}_{1}}$＜0，
∴φ（x₁）-φ（x₂）＜0，
∴φ（x）在（0，+∞）为增函数，
∵y=lgx在（0，+∞）为增函数，
∴f（x）在（0，+∞）为增函数；
∵f（2x²-mx）＞f（x-1）在（1，3）恒成立
∴2x²-mx＞x-1在（1，3）恒成立，
∴m＜2x+$\frac{1}{x}$-1，
设h（x）=2x+$\frac{1}{x}$-1，
则h′（x）=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）=2x+$\frac{1}{x}$-1在（1，3）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=2+1-1=2，
∴m≤2，
∴m的取值范围为（-∞，2]；
（3）当a=4b时，g（x）=f（x）-lg（a^x+b^x）-n=lg（a^x-b^x）-lg（a^x+b^x）-n=lg（$\frac{{4}^{x}-1}{{4}^{x}+1}$）-n，
∵g（x）在（1，2）上有零点，
∴g（1）g（2）＜0，
∴（lg$\frac{3}{5}$-n）（lg$\frac{15}{17}$-n）＜0，
即（n-lg$\frac{3}{5}$）（n-lg$\frac{15}{17}$-n）＜0，
解得lg$\frac{3}{5}$＜n＜lg$\frac{15}{17}$，
∴n的取值范围（lg$\frac{3}{5}$，lg$\frac{15}{17}$）．

点评 本题主要考查了对数函数的定义域，以及函数的单调性的判定和应用，以及函数恒成立问题和函数的零点存在定理，同时考查了计算能力，属于中档题．