Question

【题目】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）求得函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）函数在上单调递增，可得在上恒成立，即在上恒成立，令，可得在上恒成立，可令，由且，解不等式即可得到所求范围.

试题解析：（1），

，所以所求切线的方程为：

即；

（2）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，即 对任意的恒成立，

令，则需，

所以，即.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.