Question

【题目】已知函数.

（1）若在定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得恒成立且有唯一零点，若存在，求出满足， 的的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）．

【解析】试题分析：（1）由在定义域上单调递减，则恒成立，求的最大值小于等于0即可.

(2) 当时， ，∴恒成立，当时，由（1）知， 在内单调递减，分， 两种情况讨论函数的单调性和零点.

试题解析：（1）由已知，函数的定义域为，

由在定义域上单调递减，则恒成立，

，所以，

当时， ， 单调递增，当时， ， 单调递减．即在内单调递增， 内单调递减，

所以．

（2）当时， ，∴恒成立，

当时，由（1）知， 在内单调递减，

（i）若，

由（1）知， 在内单调递减，

则， 无零点，不符合题意;

（ii）若，

设， ，

所以，又，

所以存在，使得，即，①

且当故当时，有，当时，有，

则在内单调递增， 内单调递减，

由于恒成立，且有唯一零点，∴．②

结合①，②知，③

联立得

设，则， ，

且当时， ，所以在上有唯一零点．

即满足方程组③的唯一，且．

设， ，所以在上单调递增，

，

即满足方程组③的，所以.

综上所述，存在即，使得恒成立且有唯一零点．