题目内容
20．某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表6组数据：| 单价x（元） | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
| 销量y（件） | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收入-成本）
分析 （Ⅰ）由题意可知X取值为0，1，2，分别求得P（X=0），P（X=1）及P（X=2），列出分布列，求得X的数学期望E（X）；
（2）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值，求得线性回归方程，由利润公式求得L=-20x2+330x-1000，根据二次函数的性质求得x=8.25，利润最大．
解答 解：（Ⅰ）X取值为0，1，2．使90≤x+y＜100的有3组，
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |
（Ⅱ）因为$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80，$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=0.7，$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=-14．
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-14}{0.7}$-20，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$=250，
y关于x的线性回归方程是y=-20x+250；
利润L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20x2+330x-1000，
当x=-$\frac{330}{2×（-20）}$=8.25时，取最大值361.25．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．…（12分）
点评 本题主要考查回归分析，离散型随机变量的分布列与期望，考查二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．
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