题目内容

15．（1）求证：An+1n+1-Ann=n2An-1n-1
（2）求证：2n-Cn12n-1+Cn22n-2+…+（-1）n-1Cnn-1×2+（-1）n=1．

分析 （1）左边=（n+1）$•n{A}_{n-1}^{n-1}$-n${A}_{n-1}^{n-1}$，化简整理即可得出．
（2）利用二项式定理即可得出．

解答 证明：（1）左边=（n+1）$•n{A}_{n-1}^{n-1}$-n${A}_{n-1}^{n-1}$=n2An-1n-1=右边，
∴An+1n+1-Ann=n2An-1n-1．
（2）左边=（2-1）n=1=右边，
∴2n-Cn12n-1+Cn22n-2+…+（-1）n-1Cnn-1×2+（-1）n=1．

点评 本题考查了二项式定理、排列组合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

练习册系列答案
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5．设f（x）=（x2-$\frac{3}{m}$x+$\frac{5}{{m}^{2}}$）emx，其中实数m≠0．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-$\frac{2}{m}$x-5恰有两个零点，求m的取值范围．
6．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．
3．已知数列{an}（n=1，2，3，…，2016），圆C1：x2+y2-4x-4y=0，圆C2：x2+y2-2anx-2a2017-ny=0，若圆C2平分圆C1的周长，则数列{an}的所有项的和为4032．
10．复数z=（i-1）i的虚部为（　　）
A．1B．-1C．-iD．i
20．某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表6组数据：
单价x（元）88.28.48.68.89
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（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收入-成本）
7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象在y轴上截距为0，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$）；（x0+π，$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+m|x+$\frac{3π}{4}}$|（m＞0）在[-$\frac{11π}{12}$，-$\frac{π}{2}$]上存在零点，求实数m的取值范围．
4．已知函数f（x）=alnx-$\frac{1-a}{x}$（a为常数）
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+y-3=0垂直，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）-x的在区间（1，+∞）单调递减，求a的取值范围．
5．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+ax2+ax在（-∞，+∞）单调递增的充要条件是（　　）
A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．a＜0或a＞1D．a≤0或a≥1

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