Question

【题目】如图，正方形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若是的中点，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取AC中点O，连结PO，BO．推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而PO⊥面ABC，由此能证明面PAC⊥面ABC；

（Ⅱ）以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量和面的一个法向量，利用夹角公式求解即可.

解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结PO，BO．

因为PC＝PA，所以PO⊥AC，
在中，PO＝OB＝AC＝2，PB＝PA＝，
则，

所以PO⊥OB，
又AC∩OB＝O，且AC、OB面ABC，所以PO⊥面ABC，
又PO面PAC，所以面PAC⊥面ABC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得两两垂直，则以为坐标原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图：

则，

，

设面的一个法向量为，

则，令，则，即，

又面的一个法向量为，

则，

又由于二面角为锐角，

则二面角的余弦值为.