Question

17．已知p：函数g（x）=$\sqrt{{mx}^{2}+mx+1}$的值域是[0，+∞）；q：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+mx+1在其定义域上不是单调函数，若“p或q”为真命题，“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据条件分别求出p，q成立的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解即可．

解答 解：当m=0时，g（x）=$\sqrt{{mx}^{2}+mx+1}$=1，函数的值域为{1}，不满足条件．
当m≠0时，要使函数g（x）=$\sqrt{{mx}^{2}+mx+1}$的值域是[0，+∞）；
则满足$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△={m}^{2}-4m≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m≥4或m≤0}\end{array}\right.$，
即m≥4，
综上m≥4，即p：m≥4，
若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+mx+1在其定义域上是单调函数，
则f′（x）=x²-x+m≥0恒成立，
即判别式△=1-4m≤0，得m≥$\frac{1}{4}$，
即f（x）在其定义域上不是单调函数，则m＜$\frac{1}{4}$，即q：m＜$\frac{1}{4}$，
若“p或q”为真命题，“p或q”为假命题，
则p，q为一个真，一个假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{m≥4}\\{m≥\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，此时：m≥4，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m＜4}\\{m＜\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，则m＜$\frac{1}{4}$，
综上m≥4或m＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据函数和导数的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．