Question

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，∠B=60°且b=$\sqrt{3}$
（Ⅰ）若a=1，求∠A的大小和边c的长度；
（Ⅱ）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用正弦定理可求sinA=$\frac{1}{2}$，结合范围$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可求A的值，进而利用余弦定理可求c的值．
（Ⅱ）由正弦定理可求c=2sinC，a=2sinA，设周长为y，利用三角函数恒等变换的应用化简可得y=$2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）+\sqrt{3}$，可求范围$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，利用正弦函数的性质可求取值范围．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）$B=\frac{π}{3}，A+C=\frac{2π}{3}$，
又∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，a=1，$b=\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，
∴$sinA=\frac{1}{2}$，-----（2分）
 又∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，-----（3分）（或用大边对大角），
∴$A=\frac{π}{6}$．-------（4分）
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{{1}^{2}+3-2×1×\sqrt{3}×0}$=2．
（采用正弦定理，余弦定理，勾股定理均可）求出边长c的长度为2．-------------（6分）
（Ⅱ）∵$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2$，
∴c=2sinC，a=2sinA，----（7分）
设周长为y，则$y=a+c+b=2sinA+2sinC+\sqrt{3}$
=$2sinA+2sin（{\frac{2π}{3}-A}）+\sqrt{3}$
=$3sinA+\sqrt{3}cosA+\sqrt{3}$，----（8分）
=$2\sqrt{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA}）+\sqrt{3}$
=$2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）+\sqrt{3}$，-------（9分）
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（{A+\frac{π}{6}}）≤1$，
∴$2\sqrt{3}＜2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）+\sqrt{3}≤3\sqrt{3}$．
∴周长的取值范围是$（{2\sqrt{3}，3\sqrt{3}}]$．--------（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．