Question

已知数列{a_n}各项均为正数，并且a₁=a（0＜a＜1），an+1=

an

1+an

(n∈N*)，求证：
（1）若0＜a_n＜1，则0＜a_n+1＜

1

2

；
（2）an=

a

1+(n-1)a

；
（3）

a1

2

+

a2

3

+

a3

4

+…+

an

n+1

＜1．

Answer 1

分析：（1）构造函数y=

x

1+x

，利用函数在（0，1）的单调性证明数列．
（2）将条件），an+1=

an

1+an

(n∈N*)，取倒数，构造新的等差数列，利用构造的数列求通项公式．
（3）利用放缩法证明不等式．

解答：解：（1）因为y=

x

1+x

=1-

1

x+1

 所以，函数y=

x

1+x

（0＜x＜1）是增函数，
由已知an+1=

an

1+an

(n∈N*)，0＜a_n＜1  所以0＜an-1＜

1

2

．
（2）因为an+1=

an

1+an

(n∈N*)，所以

1

an+1

=

1+an

an

=1+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=1，即数列{

1

an

}是首项为

1

a

，公差为1的等差数列
所以

1

an

=

1

a

+(n-1)，所以an=

a

1+(n-1)a

，n∈N•．
（3）由已知an=

a

1+(n-1)a

=

1

1 a +n-1

＜

1

n

，（∵0＜a＜1）
所以

a1

2

+

a2

3

+…+

an

n+1

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．
所以不等式成立．

点评：本题考查了数列和不等式的综合，运算量较大，综合性较强，构造函数，利用函数的性质研究数列问题是解决问题的关键．