Question

【题目】已知集合.

（1）证明：若，则，；

（2）证明：若，则，并由此证明中的元素若满足，则；

（3）设，试求满足的所有的可能值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）c＝7+4

【解析】

（1）若，则且，, ,得到 ， 均满足集合的性质，进而得到结论.

（2）构造函数，分析其单调性，进而得到中元素若满足，则.

（3）设，结合（1）（2）中的结论，可得值.

证明：（1）若a∈A，则a＝m+n且m2﹣3n2＝1，m，n∈Z，

则m+（﹣n）且m2﹣3（﹣n）2＝1，m，﹣n∈Z，

故∈A，

则（m+n）＝（2m﹣3n）+（2n﹣m），

此时（2m﹣3n）2﹣3（2n﹣m）2＝m2﹣3n2＝1，

故∈A；

（2）令f（x）＝x（x≥1），则在上的单调递增，

证明：设，

则

∵ ，

∴，，

故，即，在上的单调递增

∵1＜p≤q，f（1）＝2

∴2；

令b＝m+n且m2﹣3n2＝1，m，n∈Z，

∵1，

∴2＜b，

∴2＜2m≤4，

则m＝2，n＝1，则b＝2；

（3）∵c∈A，且2c≤（2）2，

∴∈A，且12，

由（2）得：2，

∴c＝（2）2＝7+4