Question

如图，已知两点A（-

5

，0）、B（

5

，0），△ABC的内切圆的圆心在直线x=2上移动．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M（2，0）作两条射线，分别交（Ⅰ）中所求轨迹于P、Q两点，且

MP

•

MQ

=0，求证：直线PQ必过定点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，根据平面几何知识可知C的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（不含右顶点），
由|CA|-|CB|=|AD|-|BD|求出实半轴，结合b²=c²-a²求出b²，则C点的轨迹可求；
（Ⅱ）设出直线PQ与x轴的交点，由此写出直线PQ所在直线方程，和双曲线方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系得到P，Q两点的纵坐标的和与积，结合

MP

•

MQ

=0列式求出PQ与x轴交点的横坐标为定值．

解答：解：（Ⅰ）设△ABC内切圆切AB边于点D，
则|CA|-|CB|=|AD|-|BD|=(

5

+2)-(

5

-2)=4＜2

5

．
∴点C的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（不含右顶点），
由a=2，c=

5

，得b2=c2-a2=(

5

)2-2=1．
所以点C的方程为

x2

4

-y2=1(x＞2)；
（Ⅱ）设PQ：x=my+a（a＞2），代入

x2

4

-y2=1，
得（m²-4）y²+2amy+a²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y1+y2=-

2am

m2-4

，y1y2=

a2-4

m2-4

．
∵

MP

•

MQ

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1+a-2)(my2+a-2)+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(a-2)(y1+y2)+(a-2)2=0．
∴

(m2+1)(a2-4)

m2-4

-

2am2(a-2)

m2-4

+(a-2)2=0．
化简，得3a²-16a+20=0，解得a=2（舍去）或a=

10

3

．
故直线PQ必过定点(

10

3

，0)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．