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精英家教网如图,已知点A(2,0),B(1,0),点D,E同时从点B出发沿单位圆O逆时针运动,且点E的角速度是点D的角速度的2倍.设∠BOD=θ,0≤θ<2π
(Ⅰ)当∠BOD=
π6
,求四边形ODAE的面积;
(Ⅱ)将D、E两点间的距离用f(θ)表示,并求f(θ)的单调区间.
分析:(Ⅰ)由SODAE=S△OAE-S△OAD,关键分别求出相应三角形的面积;(Ⅱ)由条件点D,E都从点B同时出发沿单位圆O逆时针运动,且点E的角速度是点D的角速度的2倍,用坐标表示点,从而表达出f(θ)表示,再求f(θ)的单调区间.
解答:解:(Ⅰ)当∠BOD=
π
6
时,∠BOE=
π
3

D(
1
2
3
2
),E(
3
2
1
2
)
SODAE=S△OAE-S△OAD=
1
2
×2×
3
2
-
1
2
×2×
1
2
=
3
-1
2

(Ⅱ)∵点D,E都从点B同时出发沿单位圆O逆时针运动,且点E的角速度是点D的角速度的2倍.
∴∠BOE=2∠BOD,∠BOD=θ,∠BOE=2θ,0≤θ<2π
由三角函数的定义可知,点D(cosθ,sinθ),E(cos2θ,sin2θ)
f(θ)=
(cos2θ-cosθ)2+(sin2θ-sinθ)2
=
2-2(cos2θcosθ+sin2θsinθ)
=
2(1-cosθ)
=2|sin
θ
2
|

∵0≤θ<2π,∴0≤
θ
2
<π
sin
θ
2
≥0
,∴f(θ)=2sin
θ
2

0≤
θ
2
π
2
得:0≤θ≤π,由
π
2
θ
2
<π
得:π<θ<2π
∴f(θ)的单调递增区间是[0,π],单调递减区间是(π,2π).
点评:本题主要考查再实际问题中建立三角函数模型,考查三角函数的定义及化简,有一定的综合性.
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