Question

函数y=7-2sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x的值域为

[

27

4

，9]

．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式将函数转化为三角函数与二次函数的复合函数y=7-sin2x+sin²2x=（sin2x-

1

2

）²+

27

4

，再将sin2x看做整体利用配方法和sin2x的有界性求二次函数值域即可．

解答：解：y=7-2sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x=7-sin2x+4cos²x（1-cos²x）=7-sin2x+4cos²xsin²x）=7-sin2x+sin²2x=（sin2x-

1

2

）²+

27

4

∵-1≤sin2x≤1
∴sin2x=

1

2

时，函数取最小值

27

4

sin2x=-1时，函数取最大值9
故答案为[

27

4

，9]

点评：本题考察了二倍角公式的应用，复合函数值域的求法，三角函数的有界性及其应用