Question

点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（ ）
A．（1，8]
B．
C．
D．（2，3]

Answer 1

【答案】分析：直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．
解答：解：设双曲线的左焦点为F₁，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，
其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，
由三角形中位线定理可知：OM=PF₁，PF₁=PF-2a，PF≥a+c．
所以，1．
故选B．
点评：本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF≥a+c．是解题的关键．