题目内容
（14分）在直角坐标平面内，已知点
， 
是平面内一动点，直线
、
斜率之积为
.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程；
(Ⅱ)过点
作直线
与轨迹交于
两点，线段
的中点为
,求直线
的斜率
的取值范围.
解析: (Ⅰ)设
点的坐标为
，依题意，有
. ………………… 3分
化简并整理，得
.
∴动点的轨迹
的方程是. ………………… 5分
(Ⅱ)解法一：依题意，直线
过点
且斜率不为零，故可设其方程为
, …………………………………………………………………………6分
由方程组
消去
，并整理得
设
,
,则
，……………………………………………………… 8分
∴
∴
,
, …………………………………………… 10分
(1)当
时，
； …………………………………………… 11分
(2)当
时,
.
.
且
. ………………………………………… 13分
综合(1)、(2)可知直线
的斜率
的取值范围是：
.……………… 14分
解法二：依题意，直线过点且斜率不为零.
(1) 当直线与轴垂直时，
点的坐标为，此时，； …………6分
(2) 当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为
, …………7分
由方程组
消去
，并整理得
设,,则
，……………………………………………………… 8分
∴
,
, ………………… 10分
.
.
且 . ………………………………………… 13分
综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分
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