Question

证明：1•1！+2•2！+…+n•n！=（n+1）！-1．

Answer 1

考点：排列及排列数公式

专题：排列组合

分析：本题属于关于置之死地命题的证明，所以利用数学归纳法矩形证明即可．

解答： 证明：n=1时，左边=1，右边=2!-1=1；
假设n=k等式成立，即1•1!+2•2!+3•3!+k•k!=（k+1）!-1，
则n=k+1时，1•1!+2•2!+3•3!+k•k!+（k+1）•（k+1）!=（k+1）!-1+（k+1）•（k+1）!=（k+1）!（1+k+1）-1=（k+2）!-1；
所以n=k+1时等式成立；
所以1•1!+2•2!+…+n•n!=（n+1）!-1对任意的n∈N成立．

点评：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目