Question

16．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N^*，公差d≠0，S₃=15，已知a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_2ⁿ=2ⁿ⁺¹+1，运用分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到T_n．

解答 解：（I）依题意，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
即有a₄²=a₁a₁₃，
则$\left\{\begin{array}{l}3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=15\\{（{a_1}+3d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）.\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2.\end{array}\right.$，
因此a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
即a_n=2n+1．
（Ⅱ）依题意，${b_n}={a_{2^n}}=2×{2^n}+1={2^{n+1}}+1$．
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2²+1）+（2³+1）+…+（2ⁿ⁺¹+1），
=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹+n=$\frac{{4（1-{2^n}）}}{1-2}+n$=2ⁿ⁺²+n-4．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．