Question

7．在△ABC中，（角A，B，C的对应边分别为a，b，c），且$bsinA=\sqrt{3}acosB$．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积是$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，且a+c=5，求b．

Answer 1

分析 （1）将$bsinA=\sqrt{3}acosB$变形为$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$，结合正弦定理可得出tanB=$\sqrt{3}$，从而解出B；
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$可得ac=3，结合a+c=5，即可解出a，c，然后利用余弦定理求出b．

解答 解：（1）∵$bsinA=\sqrt{3}acosB$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$，
又∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴$\sqrt{3}$cosB=sinB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}ac}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴ac=3
∴a²+c²=（a+c）²-2ac=19，
∴b²=a²+c²-2ac•cosB=16，
∴b=4．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是必须掌握的题型．