Question

【题目】已知函数，函数，函数的导函数为.

（1）求函数的极值.

（2）若.

（i）求函数的单调区间；

（ii）求证： 时，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】（1）的极小值为；函数的极大值为；（2）（i）函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（ii）见解析.

【解析】试题分析： 求的导函数，令，得到，或

时的增或减区间，从而求得的极值；

时，求的导函数，当时， 单调增， 时， 单调减，从而求出函数的单调区间，

先求出的导数，构造新函数，通过讨论新函数的单调性，从而证出结论。

解析：（1）∵，∴，

∴，或，

∴上， ； 上； 上.

∴的极小值为；函数的极大值为.

（2）∵，∴， .

（i）记， ，

在上， ， 是减函数；在上， ， 是増函数，

∴.

则在上， ；在上， ，

故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（ii）时， ，

由（i）知， .

记，则，

在区间上， ， 是增函数；在区间上， ， 是减函数，

∴，∴，∴，

∴，即成立.