Question

【题目】已知单调等比数列，首项为，其前项和是，且，，成等差数列，数列满足条件

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，记数列的前项和是.

①求；

②求正整数，使得对任意，均有.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)①.；②..

【解析】

(1)由递推关系首先求得数列的公比，然后可得其通项公式，利用数列的递推关系结合计算可得数列的通项公式；

(2)①.首先整理数列的通项公式，然后利用分组求和的方法可得其前n项和；

②.计算的值，利用函数增长速度的知识和不等式的解集即可确定k的值.

(1)设.由已知得，即，

进而有.所以，即，则.

由已知数列是单调等比数列，且，所以取.

数列的通项公式为.

，，

则.

即数列的通项公式为.

(2)①.由(1)可得：，

分组求和可得：.

②由于，

由于比变化快，所以令得.

即递增，而递减。所以，最大.

即当时，.