Question

已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.

   （1）求椭圆的标准方程；

   （2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.

Answer 1

（1）椭圆的方程为   ；（2）直线被圆截得的弦长的取值范围是

解析:

（1）由,

得,

   则由,解得F（3,0）

   设椭圆的方程为,则,

解得   所以椭圆的方程为  

   （2）因为点在椭圆上运动,所以,  

从而圆心到直线的距离.

     所以直线与圆恒相交

     又直线被圆截得的弦长为

       

由于,所以,则,

即直线被圆截得的弦长的取值范围是