Question

【题目】设函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2），恒成立，求最大的正整数的值；

（3），且，证明：．

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）8；（3）证明见解析.

【解析】

（1）时,函数,求导可得,可知函数在上单调递增,而,即可得出单调区间；

（2）,恒成立,即,化为很成立,利用导数研究函数的单调性求得的最小值即可求解.

（3）,且,要证明：．

,,

即,

令,即证明时,恒成立；时,恒成立,利用导数研究单调性,进而证明即可.

（1）解:时,函数,

则,

因为函数在上单调递增,

且,∴时,；时,,

∴函数的单调递减区间为,单调递增区间为.

（2）解:因为,恒成立,

即恒成立,则恒成立.

因为,

令,所以,则当时,；当时,,

所以当时,函数取得极小值即最小值,

因为,

所以,

所以的最大正整数值为8.

（3）证明:,且,

要证明,

只需证,．

即证,

设,

则时,恒成立；时,恒成立,

当时,,

,

因为函数在内单调递增,且,∴,

所以在时单调递减,

所以,

所以在内单调递增,

所以,成立；

同理可得时,恒成立,

综上可得,,且,