题目内容

设函数f(x)对于任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2，试求函数f(x)在[－1，1]上的最值．

答案：
解析：

　　分析：要求函数最值，先判定该函数的单调性与奇偶性，然后利用其性质求最值．

　　解：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，

　　令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，

　　令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，

　　得f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

　　任取x1＜x2，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

　　知f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．

　　当x＞0时，f(x)＜0，又x2－x1＞0，

　　所以f(x2－x1)＜0，得f(x2)＜f(x1)，

　　故f(x)在R上是减函数．

　　所以当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(1)＝－2，f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝2．

　　点评：抽象函数具有抽象性、综合性．解决此类问题，需立足单调性与奇偶性的定义和性质去破解．


练习册系列答案
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对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．
下列说法中，正确的是（　　）
①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；
④设a∈{-1，1，
1
2
，3}，则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
⑤已知a是函数f（x）=2x-log0.5x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）＜0．
对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常数）；②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c；则称f（x）为“平底型”函数．
（1）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）若F(x)=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞)是“平底型”函数，求m和n的值．
下列说法中，正确的是（ ）
①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；
④设a∈{-1，1，，3}，则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
⑤已知a是函数f（x）=2x-log0.5x的零点，若0＜x＜a，则f（x）＜0．
A．①④
B．①④⑤
C．②③④
D．①⑤
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（）＞[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．

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